Nicolás Bourbaki: un enfoque descentralizado

Aunque en un principio fue un secreto, hace varias décadas es conocido que Nicolas Bourbaki no es una sola persona sino un grupo de matemáticos que ha mutado desde 1935 en la composición de sus miembros, no así en su idiosincrasia y visión de las matemáticas. La piedra angular de su pensamiento es el libro Los Elementos de Euclides que resume un quehacer matemático axiomático y riguroso.

En este texto hablaremos del enfoque descentralizado de las matemáticas de Nicolás Bourbaki así como su legado en otras áreas.

Nicolás Bourbaki y la descentralización

La manera de trabajar de Nicolás Bourbaki es particularmente interesante pues en lugar de publicar utilizando los nombres de sus miembros, ellos decidieron que juntos redactarían los libros, esto les permitiría lograr un consenso sobre la exposición de estos temas. Un ejemplo de su compromiso con modificar la visión tradicional de las matemáticas es su discusión con tintes chuscos sobre las matemáticas o la matemática:

Comúnmente en castellano nos referimos a las matemáticas en plural, algo similar ocurre en francés o inglés. Esto no le gustaba mucho a Nicolás Bourbaki pues desde su punto de vista La Matemática es un área que a pesar de tener distintos enfoques, está lo suficientemente estructurada y centrada en resolver problemas muy similares, así que el énfasis en los libros de Bourbaki sería ver a la Matemática como un todo.

Más adelante en el texto hablaremos sobre cómo estas ideas han influenciado otros trabajos científicos e intelectuales como el de Satoshi Nakamoto, por el momento podemos pensar de manera provocadora cómo podría lograrse un consenso en la redacción de un texto utilizando las ideas de Proof of Work presentes en el algoritmo de Bitcoin.

Bourbaki en la actualidad

Afortunadamente Nicolás Bourbaki vive, un grupo de prestigiosos matemáticos en París ha cuidado la tradición y continúan reuniéndose periódicamente con el mismo objetivo inicial. Tres veces por año se reúnen en el Institut Henri Poincaré para comunicar mediante dos o tres charlas de una hora los avances recientes más importantes en cualquier área de las matemáticas. Una característica muy particular de este seminario es que el expositor debe ser un outsider con el objetivo de transmitir mejor las ideas detrás de los nuevos teoremas. La exposición está acompañada de unas notas cuidadosamente escritas que en la mayoría de los casos se convierten en la referencia obligada para quienes deseen adentrarse en ese tema.

Es posible seguir la trepidante actividad matemática de Nicolas Bourbaki en www.bourbaki.fr

Éléments de mathématique

Los Elementos de Matemática es una colección de libros escritos desde 1939 por Nicolás Bourbaki, quien es un grupo de matemáticos que han evolucionado en su composición desde 1935. El objetivo de esta colección fue recolectar el conocimiento común sobre distintas áreas de las matemáticas. Notemos que este objetivo a principios del siglo XX era verdaderamente ambicioso pues hasta ese momento no se había realizado un trabajo similar desde que Euclides lo hizo para la geometría clásica 300 años antes de Cristo.

Desde su fundación N. Bourbaki ha publicado más de 100 libros e innumerables textos que narran con elegancia y detalle diversas áreas de las matemáticas. Hasta la fecha se han escrito 12 temas, algunos de los cuales están divididos en más de un libro. Los temas son los siguientes:

1. Teoría de conjuntos: La mayoría de las matemáticas está escrita utilizando el lenguaje de la teoría de conjuntos, por ejemplo una función se puede expresar como un conjunto de parejas ordenadas. La teoría de conjuntos tambien es una pieza clave para comprender la formalización de Kolmogorov de la teoría de Probabilidad.
2. Álgebra: En el libro sobre álgebra se estudian por ejemplo las construcciones de los productos tensoriales tan utilizados en la Ciencia de Datos moderna.
3. Topología General: en estos libros se abordan conceptos tan importantes como el límite de una función, en este caso desde el punto de vista más general que es como límite topológico.
4. Funciones de variable Real: En el cuarto de los temas se abordan las principales ideas de la derivada de funciones lo cual es esencial para los algoritmos de entrenamiento modernos en Machine Learning e Inteligencia Artificial.
5. Espacios vectoriales topológicos: El libro sobre los espacios vectoriales topológicos es muy importante para entender la estructura de los espacios de funciones, por ejemplo podríamos pensar en el espacio de funciones definidas por la arquitectura de una red neuronal y preguntarnos sobre su estructura.
6. Integración: En el libro sobre la integración encontraremos las diversas construcciones de la integral utilizadas en la actualidad.
7. Grupos y álgebras de Lie: Ciertas simetrías además de tener estructura de un grupo cuando las componemos, es posible derivarlas, lo cual es muy útil para poder entender sus razones de cambio, esto fue utilizado por Sophus Lie para resolver ecuaciones diferenciales.
8. Álgebra conmutativa: Uno de los descubrimientos más hermosos de las matemáticas es la teoría de Galois la cual mostró la imposibilidad de resolver algunos sistemas de ecuaciones mediante el estudio de las simetrías de sus soluciones.
9. Teorías espectrales: La teoría espectral es una herramienta indispensable para comprender la formulación matemática de algunas teorías físicas, por ejemplo la teoría cuántica.
10. Variedades diferenciables: Si bien es cierto que en los libros sobre Grupos de Lie ya se estudiaron las primeras variedades diferenciables, la estructura de esos objetos era aún más rica de lo que lo es para variedades diferenciables en general, cuya teoría se puede encontrar en el décimo de los temas.
11. Topología algebráica: Un tema que llama poderosamente la atención de los matemáticos dentro de la colección de Bourbaki es el de la topología algebráica pues a menudo los detalles más minuciosos de la topología algebráica se tienden a obviar en la escritura formal, recientemente Nicolas Bourbaki publicó este libro el cual es sin duda una sensación.
12. Historia de las matemáticas: Un relato histórico cuidadoso sobre el quehacer matemático también es importante para Nicolás Bourbaki y por ello les recomendamos con ahínco revisar el recuento histórico dentro de esta colección.

Satoshi Nakamoto

Recientemente con la publicación del protocolo de consenso de Bitcoin por parte de Satoshi Nakamoto, el recuerdo de Nicolás Bourbaki resurgió pues hasta la fecha es un secreto quién o quienes haya redactado el algoritmo que permite verificar las transacciones dentro de una Blockchain. Es innegable que la visión descentralizada de Nicolás Bourbaki está presente en el trabajo monumental de Nakamoto.

Colegio de Matemáticas Bourbaki

Hemos elegido el nombre de Colegio de Matemáticas Bourbaki en honor a esta manera de pensar y trabajar, tenemos la esperanza de formar matemáticos, científicos de datos, economistas, ingenieros o entusiastas de las matemáticas formados en esta cultura intelectual.

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